Robert Bošković je rođen u Dubrovniku gde završava osnovnu i srednju školu. 

Kao dečak od samo 9 godina glumi u svom rodnom gradu Dubrovniku u predstavi Mirisi, zlato i tamjan u režiji Marina Carića te od tada do danas je glumio u skoro svim pozorištima u Hrvatskoj.
Do akademije glumio je u gotovo dvadeset predstava. 1996. upisuje Akademiju dramske umjetnosti te već na drugoj godini akademije producira predstavu u KMD-Dubrovnik Mesec nad slanim vodama. Iste godine počinje da radi na Dubrovačkim ljetnim igram u predstavama Julije Cezar režija Janus Kica, Dubrovačka trilogija reditelj Joško Juvančić, Dundo Maroje režija Ivica Kunčević, Ekvinocio režija Joško Juvančić i mnoge druge.
Svoju profesionalnu karijeru započinje u pozorištu Komedija u mjuziklu Isus Hrist Superstar u režiji Vlade Štefančića u solističkoj ulozi Petra.
Nastavak svoje profesionalne karijere nastavlja u pozorištu Komedija u mnogim predstavama, mjuziklima, operetama i  koncertima; kao Janica i Jean mjuziklu, režija Vlado Štefančić, Koncert za Valentinovo miks mjuzikla, Zemlja smeška opereta, režija Vlado Štefančić i mnoge druge predstave na Dubrovačkim ljetnim igrama, kazalištu Gavela i mnogim drugim.
U isto vrijeme počinje raditi u teatru Trešnja gde za pet godina glumi u više od deset predstava u glavnim ulogama kao što su Andersenove priče, Dolazak Hrvata, Anđeli imaju krila, Eko-Eko, Velika očekivanja i mnoge druge.
Nakon završetka akademije 2000. godine filmsko iskustvo započinje u filmu Lukasa Nole Nebo sateliti te od tada pa sve do danas učestvovao je u mnogim filmovima, serijama i televizijskim emisijama.
Od 2005. do 2007. godine ulazi u zajednicu slobodnih umetnika.
Od 2008. do 2010. godine Robert otvara svoje privatno pozorište. Kao podstanari u Koncertnoj dvorani Lisinski izlaze dve predstave u Robertovoj režiji: Cipelica lutalica i Lažeš Melita.
Od 2010. godine se vraća u zajednicu samostalnih umetnika te se i dalje bavi glumom produkcijom i režijom.
Od većih režija mogu se istaknuti Cosi Fan Tutte međunarodna opera V.A. Mocarta  na Dubrovačkim ljetnim igrama, Fortunu pišu ženom u HNK Zadar, mjuzikl Vaskrsli u Kazalištu Komedija, operu Don Giovanni V. A. Mocarta u HNK u Osijeku, mjuzikl Legenda Ružice grada u kazalištu Komedija, B. Glad production, broadvejski mjuzikl Cinderella/Pepeljuga, operu Il Trovatrore/Trubadur Đ. Verdi u HNK u Osijeku, opereta Kod bijelog konja R. Benackog u HNK u Osijeku, G.K. Žar ptica mjuzikli Božićna želja Ana Maras i G.K. Žar ptica mjuzikli Divan Božić Vesna Ravenšćak i Bojan Jambrošić, HNK Zagreb mjuzikl Život za život Daniele Riči , mjuzikl Svetac svega sveta Nino Škrabe, B Glad production/K.D Lisinski mjuzikl Mi o vuku, operu Il Trovatrore/Trubadur Giuseppe Verdi u HNK Split, Samson i Dalila opera Sen-Sana HNK Osijek, I Lombardi alla Prima Crociata (The Lombards on the First Crusade)  LOMBARDICI Đ. Verdi HNK Split  i mnoge druge dramske, operne i  mjuzikl predstave.
Od 2000. godine počinje raditi kao sinhronizator u animiranim filmovima pa je i nagrađen Disney nagradom za crtani film Lion King 2. Zapažene uloge je imao i u animiranim filmovima poput Finding nemo, Lion king 3, Simbad, serijal Simsala Grim, serijal Ovce, serijal Campi, Disney serijal 101 dalmatinac, serijal Meisy, serijal Tom i Jerry, serijal Barby, Sezona lova 2.
Od 2011. radi za kanal Nickelodeon gdje posuđuje glas u crtanom serijalu Sunđer Bob Kockalone za Patrika zvezdu i gospodina Kleštića i mnoge druge crtane i uloge.
U isto vrijeme Robert radi kao spoljni saradnik na HRT televiziji kao voditelj Dečjeg Eurosonga 2,3,4, sezone, te kao voditelj i glumac u dve sezone emisije Klub Seniora. Kao televizijski reditelj režirao je šou program Dora takmičenje za Euroviziju, te mnoge tv spotove za estradne umetnike.